ÉMILE BOREL – de stelling van de eindeloos typende apen (1913)

Émile Borel (Saint-Affrique, 7 januari 1871 – Parijs, 3 februari 1956) was een Franse wiskundige en politicus. Borel werd in 1871 geboren als jongste zoon van de protestantse dominee, Honoré Borel. Hij kreeg zijn eerste onderwijs in de “pastorie” van zijn vader, waar de protestantse kinderen uit de ruime omgeving lager onderwijs genoten. Vanaf zijn twaalfde ging hij naar het lyceum in Montauban. In die periode woonde hij in bij een van zijn zusters die met een in Montauban werkzame protestantse dominee was getrouwd. Later ging hij in Parijs in de kost in het Collège van Saint-Barbe, van waaruit hij het prestigieuze lycée Louis-le-Grand bezocht om zich daar voor te bereiden op de toelatingsexamens voor de ‘grandes écoles’. Bij het landelijk toelatingsexamen van 1889 haalde Émile Borel zowel de eerste plaats voor de École polytechnique als voor de École normale supérieure. HIj koos vervolgens voor de meer op onderzoek gerichte École polytechnique. Na zijn afstuderen in 1892 sloeg hij een aantal aanbiedingen uit het bedrijfsleven af, omdat hij zich aan onderzoek wilde wijden. In 1893 werd hij benoemd tot docent aan de Universiteit van Lille benoemd. In de vier jaar dat hij daar werkte publiceerde hij 22 artikelen. In 1895 promoveerde hij op een proefschrift met de titel: “Sur quelques points sur la théorie des functions”, dat onmiddellijk de aandacht trok en dat de aanzet vormt voor zijn ideeën over maattheorie, divergente reeksen, de theorie van de niet-analytische voortzetting en quasi-analytische functies. In 1897 verliet hij Lille en keerde hij terug naar zijn alma mater, de ENS. In 1909 werd hij in Parijs benoemd tot hoogleraar in de functietheorie aan de Faculté des sciences de Paris. In 1921 volgde hij Joseph Boussinesq op als hoogleraar kansberekening en hoogleraar wiskundige natuurkunde. Vanaf 1920 was hij lid van de Raad van Universiteiten. Later werd hij vicepresident van deze organisatie. Op zijn initiatief werd in 1922 het Statistisch Instituut van de Universiteit van Parijs opgericht, de oudste onderwijsinstelling voor de statistiek in Frankrijk. Van 1923 tot 1924 was hij voorzitter van de confederatie van intellectuele arbeiders (confédération des travailleurs intellectuels, de CTI). In 1928 richtte Borel met financiële steun van de families Rockefeller en Rothschild het wiskundig instituut Henri Poincaré op. Hij leidde dit instituut bijna dertig jaar. Later is het instituut Henri Poincaré opgegaan in het centrum Émile Borel. In 1921 werd Borel gekozen tot lid van de Franse Academie van Wetenschappen, in 1933 werd hij vicepresident en in 1934 voorzitter van deze academie. Hij was ook buitengewoon hoogleraar aan de Universiteit van Rome.

Tijdens de Eerste Wereldoorlog voerde hij als oorlogsvrijwilliger het bevel over een artilleriebatterij. Émile Borel vervulde tijdens de tweede helft van zijn leven in de jaren twintig, dertig en veertig van de twintigste eeuw tal van politieke functies. Hij was van 1924 tot 1936 voor het departement Aveyron parlementslid voor de Radicale en Radicaal-Socialistische Partij, daarna van de Alliance Démocratique en ten slotte van de Parti Républicain-Socialiste. Van 1924 tot 1936 was hij lid van de Franse Nationale Vergadering, in de tweede helft van 1925 was hij enige tijd secretaris-generaal en de Raad van Ministers en in datzelfde jaar ook even Minister van Marine. Tijdens de Tweede Wereldoorlog werd hij in 1941 gearresteerd en een maand in de gevangenis van Fresnes opgesloten. Na zijn vrijlating speelde hij een rol in het Franse verzet tegen de Duitse bezetting. Na de Tweede Wereldoorlog werd Émile Borel in 1945 bestuurslid van de orde van het Legioen van Eer. Het jaar daarna in 1946 werd hij verkozen in het Bureau des longitudes in 1946. Weer twee jaar later, in 1948, werd hij voorzitter van de Commissie Wetenschap van de UNESCO. In de laatste jaren van zijn leven was hij een enthousiast reiziger. Hij bezocht op uitnodiging congressen in Noord- en Zuid-Amerika, het Midden-Oosten en India. In 1956 maakte hij op de terugreis van een bezoek aan Brazilië op de boot een lelijke val. Hij herstelde hiervan niet en overleed in dat jaar op vijfentachtigjarige leeftijd in Parijs. Hij is begraven in Saint-Affrique.

Borel was een van de pioniers van de maattheorie en de toepassing daarvan in de kansrekening. Er zijn veel wiskundige begrippen naar hem vernoemd, zoals de Borelverzameling, Borel-algebra, lemma van Borel, Borel-maat, Borel-paradox, Borelstam, lemma van Borel-Cantelli, stelling van Borel-Carathéodory, stelling van Heine-Borel en Borel-som. In een van zijn werken over waarschijnlijkheids-leer introduceerde hij een amusant gedachte-experiment dat sinds die tijd in de populaire cultuur bekendstaat als de paradox van de geniale aap.

De stelling van de eindeloos typende apen is een theoretische stelling die inhoudt dat, indien men er maar lang genoeg de tijd voor neemt, een aap die in willekeurige volgorde letters intikt op een schrijfmachine, een kopie van een volledig werk van William Shakespeare kan produceren. De aap staat in deze stelling symbool voor elk soort dier of apparaat dat willekeurig een letter kiest. De statistische kans dat er vervolgens een werk van Shakespeare uitkomt, is uitermate klein, maar niet nul. In de diverse varianten van de stelling variëren het aantal apen en de lengte en complexiteit van de te schrijven tekst.

De op zich totaal ongeloofwaardige stelling, die was bedoeld om de begrippen eindigheid en waarschijnlijkheid te duiden, werd later gepopulariseerd door Sir Arthur Stanley Eddington (Kendal, 28 december 1882 – Cambridge, 22 november 1944), een Brits astronoom, die al op 25-jarige leeftijd benoemd werd tot hoogleraar astronomie in Cambridge. Eddington was een van de eerste astronomen die de volle betekenis van de relativiteitstheorie van Albert Einstein besefte. In 1919 organiseerde hij een expeditie naar het eiland Principe om op 29 mei een zonsverduistering te observeren. Tijdens deze zonsverduistering kon hij aantonen dat het licht van sterren, dat vlak langs de verduisterde zon trok, door de zwaartekracht van de zon werd afgebogen; het eerste experimentele bewijs van de relativiteitstheorie. Verder ontwikkelde hij in 1926 als eerste een model van het inwendige van de zon, gebaseerd op zij idee dat in de zon een evenwicht bestond tussen zwaartekracht, gasdruk en stralingsdruk.

Het theorema van de Eindeloos Typende Apen riep enkele dilemma’s op, zoals de vraag hoe je in hemelsnaam de kans op een gewenst resultaat moet berekenen als niet eerst kan worden aangetoond dat het gewenste resultaat ook echt haalbaar is. Het druist immers tegen alle kanswetten in dat een aap ooit bijvoorbeeld exact de Hamlet van Shakespeare zou schrijven. Het theorema appelleert aan de overtuiging van velen dat eindeloze reeksen van intrinsiek toevallige handelingen of mutaties onvermijdelijk leiden tot betekenisvolle uitkomsten. Dat eerste gevoel is echter behoorlijk misleidend: de statistiek is onverbiddelijk. Zelfs indien men de tekst van bijvoorbeeld Hamlet terugbrengt tot enkel de letters door zaken als punten, komma’s, spaties en aanhalingstekens weg te laten, is er nog altijd een kans van 1 op 26 dat een aap alleen de eerste letter correct typt. De kans dat hij de eerste twee letters correct typt wordt al 1 op 676 (26 × 26). Per letter neemt de kans dat de correcte letter aangeslagen wordt exponentieel af. Na 20 letters is de kans al gekrompen tot 1 op de 2620 = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376 (bijna 2 × 1028). De kans dat de gehele tekst van Hamlet correct getypt wordt door enkel willekeurig een letter te kiezen is zo klein, dat deze niet in voor mensen bekende termen te omschrijven valt. De tekst van Hamlet bevat ongeveer 130.000 letters. Dat geeft een kans van 1 op de 3,4 × 10183.946 dat een aap het hele werk correct schrijft.

In 2003 zetten onderzoekers van de universiteit van Plymouth zes kuifmakaken een maand lang voor een computer. Ze kwamen niet verder dan veelvuldig urineren op het toetsenbord, op datzelfde toetsenbord beuken met een steen én het typen van vijf pagina’s tekst, vooral met veel s’en. De eerste conclusie kan dan zijn dat het experiment weinig wetenschappelijke waarde had. Volgens de onderzoekers toonde het experiment echter wel aan dat apen niet altijd willekeurig knoppen indrukken. Zodra ze ontdekten dat hun actie iets teweegbracht op het computerscherm kregen ze belangstelling voor een of twee bepaalde knoppen. Maar of dat ooit tot een literair meesterwerk gaat leiden?

Aardig weetje: Feitelijk hetzelfde principe komt naar voren in Het oneindige verhaal van Michael Ende, waar bij het ‘Toevalsspel’ wordt geprobeerd om met dobbelstenen waarop aan alle zes de kanten letters staan woorden te vormen. Er wordt gesteld dat als je eeuwig hiermee doorgaat, alle mogelijke woorden en zinnen en alle verhalen die ooit kunnen worden verteld helemaal vanzelf ontstaan. Argax, de bedenker van het spel, is toevalligerwijs een aap, die het spel laat spelen door mensen die hun geheugen zijn verloren.